Piston Motion Equations(معادلات حركة المكبس)

Definitions(تعريفات)

l: rod lenght (طول عمود التوصيل)

r: crank radius (نصف قطر عمود المرفق)

x: piston pin position(موقع مسمار المكبس)

θ: crank angle(زاوية عمود المرفق)

    ϕ: rod angle(زاوية عمود التوصيل)

$v=\frac{dx}{dt}$ :piston velocity(السرعة المتجهة المكبس)

$\omega =\frac{d\theta }{dt}$ :crank angular velocity(السرعة الزاوية لعمود المرفق)

From Figure it can be seen that:(من الشكل يتبين لنا)

    $x=r\cos \theta +l\cos \varphi$     ................................................(1)

    $r\sin \theta =l\sin \varphi$    ...........................................................(2)

 By squaring (2) we can find that (بتربيع معادلة (2) نستطيع إيجاد أن )

    $\cos \varphi =\sqrt{1-\frac{{\mathit{r}}^2{\sin }^2\mathit{\theta }}{{\mathit{l}}^2}}$    .........................................(3)

By using this expression of cosϕ in equation (1) we can find  x  as a function of  θ 

    $x=r\cos \theta +\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2\theta }$       ...................(4)

Now we differentiate equation (4) with respect to time to obtain the piston velocity v

    $v=\frac{dx}{dt}=-rsin\theta \frac{d\theta }{dt}+\frac{1}{2\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2\theta }}(-2r^2\sin \theta \cos \theta )\frac{d\theta }{dt}$

which becomes

    $v=-r\omega (\sin \theta +\frac{r\sin \theta \cos \theta }{\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2\theta }})$.................(5)